●范题精讲
一、等差数列的概念、通项公式
【例1】 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
分析：在等差数列中，有a1、an、n、d、Sn五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.
解：(1)由an=a1+(n－1)d,a10=30,a20=50,
得方程组
解得a1=12,d=2.
所以an=2n+10.
(2)由Sn=na1+ d,Sn=242,得方程12n+ ×2=242.
解得n=11或n=－22(舍去).
评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.
二、等差数列性质的应用
【例2】 已知等差数列{an}为等差数列，p≠q,ap=q,aq=p,求ap+q.
分析：可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.
解法一：
相减得(p－q)d=q－p,∵p≠q,∴d=－1.代入①,
得a1=p+q－1.故ap+q=a1+(p+q－1)d=0.
解法二：ap=aq+(p－q)d,∴q=p+(p－q)d,以下同解法一.
解法三：不妨设p<q,由于an为关于n的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p,ap)、(q,aq)、(p+q,ap+q)三点在同一直线上，如图.
由△ABE∽△BCF得(设ap+q=m)
∴1= .设m=0,得ap+q=0.
三、等差数列前n项和公式的应用
【例3】 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a3=12,S12＞0,S13＜0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大，并说明理由.
(1)解：依题意有
由a3=12,得a1=12－2d.
又 － ＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0,即a6+a7＞0,a7＜0,由此得a6＞－a7＞0.
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.
解法二：Sn=na1+ d
=n(12－2d)+ n(n－1)d= n2－( －12)n
= ［n－ (5－ )］2－ ［ (5－ )］2.
∵d＜0,∴［n－ (5－ )］2最小时，Sn最大.
当－ ＜d＜－3时，6＜ (5－ )＜6.5.
∴n=6时，［n－ (5－ )］2最小.
∴S6最大.
解法三：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由已知
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a6＞0,a7＜0的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.
四、数列的应用
【例4】 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.
(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n－1)年(n∈N且n≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).
(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
解：(1)不妨设改进技术后第n年的产量为an，则
a1=a(1+200%)=3a,a2=a1(1+ ×200%)=6a,
a3=a2(1+ ×200%)=9a,a4=a3(1+ ×200%)= a.
依此，得an=an－1(1+ ×200%)=an－1［1+( )n－2］(n∈N*,n≥2).
(2)设遭损失后第n年的产量为bn,则
b1=a1(1－10%),b2=b1(1+ ×200%)(1－10%),…,
bn=bn－1［1+( )n－2］(1－10%).
令bn＜bn－1,则0.9［1+( )n－2］＜1 2n－2＞9,
∴n－2＞ ,即n＞5.17.由n∈N*知n≥6.
故从第6年起，产量将不如上一年.
评注：这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键，把它抽象为数列的通项，容易求出递推关系式an=an－1［1+ ( )n－2］(n∈N*且n≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.
●试题详解
高中同步测控优化训练(十一)
第三章 数列(一)(A卷)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为
A.34 B.35 C.36 D.37
解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列，公差为11，an=110+(n－1)•11=11n+99,由an≤500,解得n≤36.4,n∈N*,∴n≤36.
答案：C
2.在数列{an}中，a1=1,an+1=an2－1(n≥1),则a1+a2+a3+a4+a5等于
A.－1 B.1 C.0 D.2
解析：由已知：an+1=an2－1=(an+1)(an－1),
∴a2=0,a3=－1,a4=0,a5=－1.
答案：A
3.若数列{an}的前n项和Sn=n2－2n+3，则此数列的前3项依次为
A.－1,1,3 B.2,1,3
C.6,1,3 D.2,3,6
解析：当n=1时，a1=S1=12－2×1+3=2;
当n=2时，由S2=a1+a2=22－2×2+3,得a2=1;
当n=3时，由S3=a1+a2+a3=32－2×3+3,得a3=3.
答案：B
4.设函数f(x)满足f(n+1)= (n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为
A.95 B.97 C.105 D.192
解析：f(n+1)－f(n)=
各式相加得f(20)－f(1)= (1+2+…+19) f(20)=95+f(1)=97.
答案：B
5.已知等差数列｛an｝中公差d≠0.若n≥2,n∈N*,则
A.a1an+1＜a2an B.a1+an+1＞a2+an
C.a1+an+1＜a2+an D.a1an+1＞a2an
解析：a1an+1－a2an=a1(a1+nd)－(a1+d)［a1+(n－1)d］=－(n－1)d2＜0,∴a1an+1＜a2an.
答案：A
6.等差数列｛an｝中，a4+a7+a10=57,a4+a5+…+a14=275,ak=61,则k等于
A.18 B.19 C.20 D.21
解析：∵3a7=a4+a7+a10=57,∴a7=19.由a4+a5+…+a14=275,可得a9=25.∴公差d=3. ∵ak=a9+(k－9)•d,∴61=25+(k－9)×3,解得k=21.
答案：D
7.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3•a7=－12,a4+a6=－4,则S20为
A.180 B.－180
C.90 D.－90
解析：由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=－4与a3•a7=－12联立，即a3、a7是方程x2+4x－12=0的两根.又公差d>0,∴a7>a3 a7=2,a3=－6,从而得a1=－10,d=2,S20=180.
答案：A
8.设Sn是等差数列前n项的和，若 ,则 等于
A.1 B.－1
C.2 D.
解法一：∵ ,∴ = .
∴ .
解法二：∵ ,
∴
答案：A
9.已知｛an｝是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是
A.(－ ,+∞) B.(0,+∞)
C.(－2,+∞) D.(－3,+∞)
解析：由｛an｝为递增数列得an+1－an=2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n－1在n≥1时恒成立，只需λ＞(－2n－1)max=－3,故选D.
答案：D
10.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为
A.14 B.15
C.16 D.17
解析：S9= =18 a1+a9=4 2(a1+4d)=4.
∴a1+4d=2.又an=an－4+4d,∴Sn= =16n=240.
∴n=15.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn= (n∈N*),且a4=54,则a1的值是________.
解析：∵a4=S4－S3,
∴ =54.∴a1=2.
答案：2
12.若数列｛an｝的前n项和Sn=lg［ (1+n)］,则a10+a11+a12+…+a99=_________.
解析：a10+a11+…+a99=S99－S9=lg( •100)－lg( •10)=1－0=1.
答案：1
13.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.
解析：－21= ,∴n=5.
答案：5
14.等差数列{an}中，a1+a2+a3=－24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于________.
解析：由a1+a2+a3=－24,可得3a2=－24;
由a18+a19+a20=78,可得3a19=78,即a2=－8,a19=26.
∴S20= =10(a2+a19)=10(－8+26)=180.
答案：180
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)已知数列｛an｝满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+(2n－1);
(2)a1=1,an+1= .
解：(1)∵a1=0,an+1=an+(2n－1),
∴a2=a1+(2×1－1)=0+1=1,a3=a2+(2×2－1)=4,a4=a3+(2×3－1)=9,a5=a4+(2×4－1)=16.
∴它的前5项依次是0，1，4，9，16.又可写成(1－1)2,(2－1)2,(3－1)2,(4－1)2,(5－1)2.
故该数列的一个通项公式是an=(n－1)2.
(2)∵a1=1,an+1= ,
∴a2= ,
a4=
∴它的前5项依次是1, .
又可写成
故它的一个通项公式为an= .
16.(本小题满分10分)已知等差数列｛an｝中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求其通项an.
解：∵a1+a7=2a4,且a1+a4+a7=15,∴a4=5.
又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.
设其公差为d,又a4=5,∴a2=a4－2d,a6=a4+2d.代入a2a6=9可得
(5－2d)(5+2d)=9 25－4d2=9 d=±2.
当d=2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×2=2n－3(n∈N*);
当d=－2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×(－2)=13－2n(n∈N*).
17.(本小题满分12分)数列的通项公式为an=n2－5n+4，问:
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
解：(1)由an为负数，得n2－5n+4<0,解得1<n<4.
∵n∈N*,故n=2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.
(2)∵an=n2－5n+4=(n－ )2－ ,
∴对称轴为n= =2.5.
又∵n∈N*,故当n=2或n=3时，an有最小值，最小值为22－5×2+4=－2.
18.(本小题满分12分)有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一直向前放.一辆汽车一次最多运三根，如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？
解：设在运完第3(n－1)至3n(其中1≤n≤10且n∈N*)根且返回起点时，这辆汽车的行程为an米，则根据题意得a1=(1000+50+50)×2=2×1100,a2=(1100+50+50+50)×2=2(1100+150),a3=(1100+150+50+50+50)×2=2(1100+300),….
∴{an}是以2×1100为首项，150为公差的等差数列.从而行程为s10=(1100×10+ ×10×9×150)×2=35500.
答：这辆汽车的行程是35500千米.
19.(本小题满分12分)设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若首项a1= ,公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k;
(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立.
解：(1)当a1= ,d=1时，
Sn=na1+
由Sk2=(Sk)2,得 k4+k2=( k2+k)2,
即k3( k－1)=0.又∵k≠0,∴k=4.
(2)设等差数列{an}的公差为d,则在Sk2=(Sk)2中，分别取k=1,2,得
即
由①得a1=0或a1=1.
当a1=0时，代入②得d=0或d=6.
若a1=0,d=0,则an=0,Sn=0,从而Sk2=(Sk)2成立；
若a1=0,d=6,则an=6(n－1),Sn=3n2－3n.此时Sk2=3k4－3k2,(Sk)2=(3k2－3k)2,显然Sk2≠(Sk)2.
当a1=1时，代入②式得d=0或d=2.
若a1=1,d=0时，an=1,Sn=n,从而Sk2=(Sk)2成立；
若a1=1,d=2时，an=2n－1,Sn=1+3+…+(2n－1)=n2,从而Sk2=(Sk)2成立.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列，它们是an=0,an=1,an=2n－1.
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