一、选择题(本大题共10个小题. 每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．平面 与平面 平行的条件可以是( )
A． 内有无数条直线都与 平行
B．存在直线
C．直线 ,直线 且
D．存在异面直线 , , ,且
3．设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
4．已知 是等差数列， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列 满足 ,则 的前 项和为( )
A． B．
C． D．
7．如图，在正方体 中过点 作平面 的垂线，垂足为点 ,则下列命题错误的是( )
A．点 是 的内心
B．直线 垂直平面
C．直线 经过点 D．直线 和 所成角的余弦值为
8．在 中, ,过点 作 交 于 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．若点 到两点 的距离之和最小,则称点 为点 的“和谐点”．点 在直线 上的“和谐点”的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．在单位正方体 中,面对角线 上存在一点 ,使 取得最小值,则此最小值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卡的相应位置)
11．已知一个球的直径为 ， 则此球体的体积为 ．
12．直线 与圆 的位置关系是 ．
13．若以原点为圆心的圆全部在区域 内，则圆的面积最大为 ．
14．若直线 与直线 的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是 ．
15．过点 作圆 的弦,则以弦长为数列的项,其中各项为整数的等差数列最多有 项．
16．在三棱锥 中, 两两垂直,且 ．设 是底面 内一点,定义 ,其中 分别是三棱锥 、三棱锥 、三棱锥 的体积．若 ,且 恒成立,则正实数 的最小值为 ．
17．对于数列 ,下列说法: ①若 ,且 ,则 为等差数列;②若 为等差数列,且 , ,则 ;③若 ,且 ,则 为等比数列;④若 为等比数列,且 , ,则 ．其中正确的命题为 ．
三、解答题(本大题共5个小题，共72分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请将解答务必写在答题卡的相应位置)
18．(本小题14分) 在 中，角 的对边分别为 ,且 ．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 ,求 的面积．
19．（本小题14分）如图,已知点 , 为坐标原点，动点 满足 ,其中 ．
(Ⅰ) 求动点 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么图形；
(Ⅱ) 当 时，若关于直线 对称的两点 在动点 的轨迹上,且 ,试求直线 的方程．
20．（本小题14分）如图，在矩形 中， 是 的中点，以 为折痕将 向上折起，使平面 平面 ．
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求异面直线 所成的角；
(III)设直线 ， 交于点 ，作 于点 ，求证： 为直线 与平面 所成的角．
21．（本小题15分）设函数 满足 , ,且点 分别在直线 的两侧.
（Ⅰ）证明: 且 ；
（Ⅱ）在所给平面直角坐标系 内作表示 范围的平面区域,并求 的取值范围．
22．（本小题15分）已知数列 , 的前 项和为 ,且 为方程 的两实根．
（I）求 的通项公式;
（II）求 的前 项和 ;
(III)是否存在正实数 使 对任意的 恒成立?若存在,请求出 的范围;若不存在,说明理由．
命题学校：象山中学 审卷学校：宁海中学
宁波市 八校联考高一数学参考答案
一、选择题:
BDCAD A DCC B
二、填空题:
11. 12. 相离 13. 14. 15. 17 16. 17. ①②④
三、解答题:
18. 本题主要考查学生运用正弦定理与余弦定理解决有关三角形的简单问题的能力.
(Ⅰ)在 中，由 得, . ………………………3分
又 , ,故 .
所以 ………………………6分
(Ⅱ)因为ba＝52，所以b＝52a．
又cosB＝55，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝55． …………………………………9分
所以 ．即c2－255ac－14a2＝0．所以c＝52a.……………11分
所以 . ……………………………………………12分
当c＝5时，则b＝5，所以S△ABC＝12bcsinA＝10. ………………14分
19. 本小题主要考查直线与圆的基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及知识的综合运用能力.
.解（Ⅰ）设点 ,由 ,得
整理得, ………………………2分
因为
(1)当 即 时, 动点 的轨迹方程为 ,它表示一条直线………………4分
(2)当 即 或 时, 动点 的轨迹方程为 ,它表示以点 为圆心,以 为半径的圆. ……………………7分
（Ⅱ）当 时, 动点 的轨迹方程为 .
由已知,得直线 过圆心 ,因此 ……………………9分
故设直线 的方程为 ,则过点 的圆系方程为 . ……………………11分
因为 ,故点 在以 为直径的圆上,
所以 解得 .
故直线 的方程为 . ……………………14分
20.本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系等基础知识，考查学生的空间想象能力和基本的逻辑推理与运算求解能力.
解（Ⅰ）过点 作 于点 .
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ．…………………………3分
又平面 平面 ，且交线为 ，
∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ． …………………………5分
（Ⅱ）∵ , ∴ 或其补角为异面直线 所成的角…………………6分
由（Ⅰ）知 ，又 ，
∴ 平面 .所以 .…………………………9分
又∵ ，∴ ，故异面直线 所成的角为 .………10分
(III) 由（Ⅱ）知 平面
∵ 平面 ，∴平面 平面 ， …………………………12分
又 平面 平面 ， 于点 ，
∴ 平面
∴直线 在平面 内的射影为直线
∴ 为直线 与平面 所成的角． …………………………14分
21. 本小题主要考查不等式的基本性质与线性规划等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力
解:（Ⅰ）由 满足 ,得
∴ 且 ① …………………………2分
又 ,即 ② …………………………4分
①代入②得, ; …………………………5分
由点 分别在直线 的两侧得
故 即 ,
∴ …………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知变量 满足的不等关系为 ,在平面直角坐标系 或 内作出对应的可行域; …………………………9分
作图(图略); …………………………12分
求得 (依可行域求目标函数的取值范围,略) …………………………15分
22.本小题主要考查等比数列的概念、数列的和与项的关系及数列求和等基础知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力.
解：（Ⅰ）∵ 为方程 的两实根．
由根与系数的关系得 ①
② …………………………2分
由①,当 时, 即 …………………………3分
当 时, ,故 ,即 .
∴ 是以 为首项,以 为公比的等比数列.
∴ 的通项公式为 . …………………………6分
（II）由（Ⅰ）得 …………………………7分
代入② 得 . …………………………8分
∴ ;
两式相减得, .…………………………10分
(III)
即 . …………………………11分
设函数 ,则对任意的 ,都有
即函数 递减, …………………………13分
…………………………15分
编辑者：无锡家教（无锡家教网)
