一、填空题( )本大题共有10小题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律不给分.
1. 用列举法描述集合 { }.
2. 命题“若 ,则实数 或 ”的否命题是 .
3. 函数 的定义域是______________.
4. 函数 的最大值为 .
5. (老教材)若 是方程 的根,且 、 均为实数,则 .
(新教材)若 ,则 __________.
6. 函数 的单调递增区间是______________.
7. 关于 的方程 有两个同号但不相等的实根的一个充要条件是 .
8. 如图1所示,用一根长为4米的木料制成窗框,设窗框的宽为 米,长为 米 .若不计木料的厚度与损耗,则将窗的面积S表示成宽 的函数 为 .
9. 不等式组 的正整数解集为________________.
10. 写出二次函数 的图像与 轴没有交点的一个充分不必要条件是___________________________.
二、选择题( )本大题共有6小题,每小题有且仅有一个正确的选项,每题选对得4分,选错或不选均不得分.
11. “ ”是“ ”的_______条件 ( )
A. 充分非必要; B. 必要非充分; C. 充要; D. 既非充分又非必要.
12. 下列命题中与命题“能被6整除的整数一定能被2整除.”等价的命题是 ( )
A. 能被2整除的整数一定能被6整除;
B. 不能被6整除的整数一定不能被2整除;
C. 不能被2整除的整数不一定能被6整除;
D. 不能被2整除的整数一定不能被6整除.
13. 函数 是 ( )
A. 奇函数; B. 偶函数; C. 非奇非偶函数; D. 既是奇函数又是偶函数.
14. 若 ,则下列不等式中不一定成立的是 ( )
A. ; B. ; C. ; D. .
15. (老教材)下列命题中正确的是 ( )
A. 任何两个复数都可以比较大小; B. 任意两个虚数的积一定是虚数;
C. 两个共轭复数的差是纯虚数; D. 任意一个纯虚数的平方一定是负实数.
(新教材)函数 的图像一定不经过 ( )
A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限.
16. 已知 ,则关于表达式 ,下列说法正确的是 ( )
A.有最小值 ; B.有最小值4; C.有最小值 ; D.有最大值4.
三、简答题( )本大题共有3题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分6分)求证:函数 在区间 上单调递减.
18.(本题满分6分)函数 的图像如右图(图2)所示,试解不等式 .
19.(本题满分6分)建筑学规定,民用住宅的居室窗户面积必须小于该室内地面面积.同时,按室内采光标准,住宅的居室窗户面积与该室内地面面积之比不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件就越好.现在若同时增加相同的窗户面积和地面面积,住宅的采光条件是变好了还是变坏了?请说明你的理由.
四、解答题( )本大题共有2题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
20.(本题满分8分)
(老教材)已知复数 ,若存在实数 ,使得 成立,求 的取值范围.
(新教材)若关于 的方程 有实根,求实数 的取值范围.
21.(本题满分10分,其中第1小题3分,第2小题3分,第3小题4分)
已知函数 ,令 .
(1)求函数 的值域;
(2)任取定义域内的5个自变量,根据要求计算并填表;观察表中数据间的关系,猜想一个等式并给予证明;
…
…
…
(3)如图,已知 在区间 的图像,请据此在该坐标系中补全函数 在定义域内的图像,并在同一坐标系中作出函数 的图像. 请说明你的作图依据.
B卷
题号 一 三 总分
1~3 4
得分
一、填空题( )本大题共有2小题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律不给分.
1. 已知函数 不是一次函数,它的定义域和值域都为 .且同时满足条件:
(1) , ;
(2)对定义域内任意的实数 、 ,若 则 .
试写出一个满足以上条件的函数 的解析式 .
2. 若对于两个实数集合 、 ,
集合的运算 定义为: ;
集合的运算 定义为: .
已知实数集合 , .试写出一个实数 ,使得 但 ,则 .
二、选择题( )本大题共有1小题,每小题有且仅有一个正确的选项,选对得3分,选错或不选均不得分.
3. 设A、B是两个非空集合,若规定: ,则 ( )
A. ; B. ; C. ; D. .
三、解答题( )本大题共有1题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
4.(本题满分11分)
已知二次函数 (a,b,c均为常数,且a≠0)满足条件 且方程 有两个等根.
(1)求函数 的解析式;
(2)试确定一个区间P,使得 在P内单调递减且不等式 在P内恒成立;
(3)是否存在这样的实数 、 ( ),使得 在区间 内的取值范围恰好是 ?如果存在,试求出 、 的值;如果不存在,请说明理由.
高一调研样卷参考解答
A卷
一、填空题:
1. 0,1,2,3 ; 2. 若 ,则实数 且 . 3. ; 4. 1;
5. (老教材) 0 (新教材) 3 ; 6. (左侧为开区间亦算对); 7. ; 8. , 9. 10. 开放题,可填 等;
二、选择题:
11A 12D 13B 14.C 15(老)D;(新)B; 16A
三、简答题:
17. 证:任取 ,
有
因为 ,所以 , ,即
所以,函数 在区间 上单调递减.
18. 解: 的图像关于原点对称, 是奇函数
即 ,
由图像可知 ,
结合图形即可得出 不等式的解集为 .
19解:设住宅的窗户面积为a,地板面积为b,令窗户增大的面积和地板增大的面积都是m。
由已知得 且
因为 ,
故住宅的采光条件变好了。
四、解答题:
20.(老教材) 解:由
得到
.
注:将参数 直接代入求最值可参照给分.
20.(新教材)令 ,原方程即为 .
,
,当且仅当 时等号成立.
故实数 的取值范围是 .
21. (1)解:由条件, 的定义域为一切实数,故
所以, .
(2)表格内数据只要满足 和 互为相反数即可得分.
猜想: 或
证明:
(3) 和 的图象见下图.
因为 ,且 , ,所以函数 和 都是偶函数,其本身图象关于 轴对称.
(注:只作对 图象,并说明了理由的可得2分)
又 所以函数 的图象和 的图象关于 轴对称,即 图象和 图象关于直线 对称.由此,可作出 和 在定义域内的全部图象.
(注:若说明采用描点法作图且图象基本正确,但没有对性质加以研究的解答可适当给分,但不给满分.函数 图像中的 点不挖去也不扣分)
B卷
B1开放题,可填 , 等(注:此处没有加定义域不扣分).
B2本题为开放题,可填“ ”等
B3 B
B4. 解:(1) 由 知此函数图像的对称轴方程为 ,且 .
又由方程 有等根,∴△ ,得 .
再由 ,可得 .故 .
(2) , 函数图像的对称轴方程为
且图像开口向下,所以若要在P内单调递减,
又 在P内恒成立,
综上所述:P= .
(注:开放题,答案可以是在区间 内的非空区间)
(3) , ,即 .
而抛物线 的对称轴为 ,∴当 时, 在 上为增函数.
若满足题设条件的 存在,则
即 ,
又 , ,这时,定义域为 ,值域为 。
所以,满足条件的 存在, .
编辑者:无锡家教(无锡家教网)